안녕하세요. 청소년근로권익센터입니다.
구체적인 사실관계를 100% 알 수 없어 명확한 답변은 어려우나.

연차휴가 시기 지정권은 원칙적으로 근로자에게 있고, 연차휴가사용촉진 등 예외적으로 사용자에게 있습니다.
따라서 상기 회사의 규칙은 근로자의 연차휴가 시기 지정권을 박탈한 것으로 무효입니다. 그러므로 질의자가 사용하고 싶은 날에 연차휴가를 사용하시면 됩니다.
다만, 근로기준법 제74조 제1항은 "사용자는 임신 중의 여성에게 출산 전과 출산 후를 통하여 90일(미숙아를 출산한 경우에는 100일, 한 번에 둘 이상 자녀를 임신한 경우에는 120일)의 출산전후휴가를 주어야 한다."고 규정하고 있으므로, 이 규정을 사유로 연차휴가시기지정권을 제한한 경우라면 이는 강행규정인 근로기준법을 준수하기 위한 조치에 해당하고, 또한 이것이 근로자에게 불리한 것이 아니므로 해당 사용자의 조치는 문제가 없습니다.

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