안녕하세요. 청소년근로권익센터입니다.
구체적인 사실관계를 100% 알 수 없어 명확한 답변은 어려우나.

근로계약서 작성과 무관하게 퇴사하는데 아무 문제는 없습니다.
다만 하루라도 근무한 기간에 대한 임금 정산을 해야하는데, 근로계약서가 없다면 임금 산정에 다툼이 있을 수 있으니 가급적 근로계약서 등을 통해 근로조건을 명확히 하는 것이 바람직 합니다.

청소년근로권익센터는 고용노동부 주관으로 청소년과 청년들의 노동상담 및 권리구제를 지원합니다.
도움이 필요하시면 무료상담 신청해주세요.
?
전화 상담 : 1644-3119
카톡 상담(ID) : 청소년근로권익센터
홈페이지 상담 : http://youthlabor.co.kr/

감사합니다.