제가 서명한 근로계약서는 9월 1일 부터 9월 30일까지 인데,
회사가 임의로 근로계약서를 9월 2일 부터 30일로 변경할 수 있는지 궁금합니다.
회사의 변경으로 근로기간이 한달이 안 돼, 실업급여 신청을 못하게 돼서 질문드립니다..

자세한 내용은 아래와 같습니다.

1. 9월 1일부터 9월 30일 한 달 기간으로 주5일 8시간 월급제 근로계약을 체결하였습니다.

식당이고 스케줄제로 운영되어서 주말이 아닌 횟수로 쉬는 곳입니다.
9월 1일이 일요일이어서,사장님이 제 휴일 중 하루를 9월 1일에 쓰고
월요일 부터 출근해도 된다고 하여 근로계약은 9월 1일로 쓰고 9월 2일 월요일부터 출근하였습니다.

1-1. 그런데 퇴사 후 근로계약서를 재작성해야 한다고 연락이 왔고,
9월 2일 부터 9월 30일로 근로기간이 수정된 근로계약서를 보내주셨습니다.
저는 9월 1일로 근로계약서를 작성했으며, 1일에 제 휴일을 썼다고 말씀드리며 사인을 하지 않았고,
회사에서 확인 후 다시 보내주겠다고 한 이후로 연락이 없었습니다.

이후 월급 날 보니 임금이 계약서보다 덜 들어왔고, 회사에 연락해보니 제가 9월 2일에 출근했기 때문에
9월 2일 부터 30일까지 근로 한 것으로 돼서 하루치가 미지급 된 것이라고 했습니다.

1-2. 이에더해 제가 근무했던 9월에 추석 3일의 유급휴가가 있었는데,
사장님이 3일이 유급휴일이라는 것을 모르고 제 휴일에서 3일을 쓰도록 해서
제가 남은 9월을 휴일 없이 근무하다가 퇴사하는 주에 3일이 유급휴가임을 알게 되어
사장님에게 말씀드리고 마지막 주에 3일을 몰아서 쉬게 됐습니다.
금요일 반휴, 토요일/일요일 휴일, 월요일(30일/퇴사일) 반휴 형식으로 3일 쉬었습니다.

그런데 회사가 이것을 이유로, 반휴는 쉰 것으로 보기 때문에 마지막 9월 30일에 출근하지 않은 것으로 보아야 하고,
앞서 9월 1일에도 출근하지 않은 사정들을 종합해 저는 한 달을 근무한 것으로 볼 수 없기에
계약대로 한 달치 임금을 줄 수 없고, 계약기간도 9월 1일부터가 아닌 9월 2일로 변경된다고 했습니다.

2. 이러한 경우 회사가 임의로 9월 2일부터 9월 30일로 근로계약기간을 변경할 수 있나요?
저는 9월 1일에 휴일 중 하루를 써도 된다고 해서 쓴 것이고, 9월 30일에 반휴를 쓴 것도
마지막 주에 휴일 3일을 몰아서 받는 과정에서, 즉 사장님의 지시로 퇴직일에 반휴를 쓰게 된 것인데도
제 근로계약일이 변경되어야 하는 건가요?

하루 치 임금 깎인 건 하루 쉰 거 맞으니 어쩔 수 없다 해도,
회사가 9월 2일로 기간을 변경해서 근로기간이 한 달이 되지 않아 실업급여를 받을 수 없게 됐습니다.

3. 정리하면, 설명 드린 상황에서, 회사가 제시하는 사유를 이유로
근로계약일을 원래 근로계약서에서 정한 9월 1일에서 9월 2일로
제 동의 없이 혹은 제 서명 없이 변경하는 게 가능한지 궁금합니다.