고용보험법 제40조에 따라 실업급여는 다음과 같은 요건을 충족해야 대상이 될 것입니다.
① 이직일 이전 18개월간(초단시간근로자의 경우, 24개월) 피보험단위기간이 통산하여 180일 이상일 것
② 근로의 의사와 능력이 있음에도 불구하고 취업(영리를 목적으로 사업을 영위하는 경우 포함)하지 못한 상태에 있을 것
③ 재취업을 위한 노력을 적극적으로 할 것
④ 이직사유가 비자발적인 사유일 것

한편 동법 시행규칙 제101조제2항 별표2에는 다음과 같은 사유에 해당하면 이직사유가 비자발적인 것으로 보고 있습니다.
12. 정년의 도래나 계약기간의 만료로 회사를 계속 다닐 수 없게 된 경우

질문자님의 경우 계약 만료로 인한 경우이므로 비자발적인 이직은 보기 어려워 위 요건 중 하나에 해당될 수 있다 사료됩니다.
한편, 1달간 근무한 경우에는 피보험단위기간이 180일 미만이지만, 이전 근로한 곳까지의 기간을 합산하여 180일 이상 여부를 판단할 것으로 사료됩니다.