일단 증빙이 필요한 부분은 몇가지가 있는 것으로 보입니다.
2019년 8월부터 근무를 시작했다고 하셨는데
근로계약서를 작성했던 시점전까지와 동일한 형태(업무지시, 근태관리 등)로 근무를 하신건지,
재계약을 한 대표자명과 회사명이 달라진 이유(다른 사람이 사업을 양수 받은 건지 또는 단순히 대표자명과 회사명만 바꾼건지 등)등에 따라 언제부터 계속근로기간으로 인정받을 수 있는지가 달라집니다.

4대보험 가입의무 역시 이에 따라 달라질 수 있으므로 정확한 사실관계의 확인이 더 필요해 보입니다.
퇴직금은 정부에서 주는 것이 아니라 회사에서 지급해야 하는 것이므로 4대보험 가입여부와는 관련이 없으나 고용보험 가입이 되지
않았을 경우 회사측에서는 상시근로자가 아닌 프리랜서로 주장할 가능성도 있으므로 해당 기간이 퇴직금 지급을 위한 계속 근로기간에 포함이 되지 않을 수 있습니다.

위 안내드린 사항에 대한 정확한 내용을 확인하신 후 궁금한 점이 있으시면 다시 문의주시기 바랍니다.

감사합니다.