1. 상시근로자수 5인 이상 사업장이라면 평일근무를 주말로 옮기게 하는 것에 대해서 손해배상 청구를 해 볼수는 있지만...
상시근로자수 5인 미만이라면 즉시 근로계약 해지만 할 수 있습니다.

2. 근로계약은 상호간의 합의하에 이루어지는 것이고, 근로일이 합의되지 않아 퇴사하는 경우에는 해고로 보기 어려울 것 같아요.

위 상황이 해고라고 주장할 수 있다면, 30일 전에 해고통보를 하지 않은 것에 대해서는 해고예고수당을 달라고 요구할 수는 있어요.
다만 해고로 인정되어야 하기 때문에 해고통보를 받은 증거내역이 있어야 작성자분께 유리할 것 같네요.

사용자는 근로자를 해고하는 경우 30일 이전에 해고통보를 해야 합니다.
30일 전에 해고예고를 하지 않은 경우에는 30일분 이상의 통상임금을 지급해야 합니다.(근로기준법 제26조)
다만, 해고의 예고를 하지 않아도 되는 경우가 있습니다.
1) 일용직근로자로서 3개월을 계속 근무하지 아니한 자
2) 2개월 이내의 기간을 정해 사용된 자
3) 계절적 업무에 6개월 이내의 기간을 정해 사용된 자
4) 수습 사용 중인 근로자
이 경우를 제외하고는 해고예고수당을 청구할 수 있습니다.

해고예고수당은
1주 40시간 미만 근로하는 경우=1주 소정근로시간/40*8*시급*30일
1주 40시간 이상 근로하는 경우=8시간*시급*30일 로 계산해볼 수 있습니다.
*소정근로시간 : 당초 사용자와 근로자가 일하기로 약속한 시간


3. 퇴직금은 1년 이상 일한 근로자에게만 발생하므로, 퇴직금을 요구할 수 없습니다.

추가로 궁금하신 사항은 청소년근로권익센터(유선상담1644-3119 카카오톡상담 : id 청소년근로권익센터)를 이용 바랍니다.
청소년근로권익센터는 고용노동부와 한국공인노무사회가 함께 운영하고 있습니다.
고맙습니다.