네 실업급여는 사업주가 4대보험 상실처리할 때 퇴사사유를 권고사직, 징계해고 기타 실업급여 수급사유가 되는 코드로 넣어줘야합니다. 자진퇴사는 실업급여 수급사유가 당연히 안되구요
우선 다른사람구했다고 그만두라고 카톡 내용이 있기에 고용센터에 말씀하심 수정은 가능하나
결론은 사업주가 해당코드로 넣어줘야하기때문에 사업주랑 원만하게 이야기 하셔야 할 것 같습니다.

만약 사업주가 임의로 개인사정으로 인한 퇴사로 처리한다면 고용센터에 문의하셔서 센터에서 사업주에게 사실확인할 수 있도록 하고 수정신고들어가야할 것입니다.
노동청이아니라 관할 고용센터랑 이야기 해보셔야 할 것 같습니다.

감사합니다.