징계는 근로계약을 맺은 상대방에게 불이익을 주는 행위이므로, 정당한 이유가 있는 경우에 한하여 징계가 가능하도록 근로기준법 제23조 제1항에 규정하고 있습니다.
즉, 징계 사유가 정당한지, 그에 따른 절차를 준수하도록 규정한다면 절차가 정당한지, 징계 수위가 적정한지를 함께 고려해야 할 것입니다.
회사에 징계관련 규정이 있다면, 그 규정에 따라야 할 것입니다.
만약, 징계관련 규정이 없다면 사장님이 징계사유에 해당함을 인지한 뒤, 징계를 해야겠다고 결심한 상태여야 징계 단계로 나아갈 것입니다.

질문자님의 정보에 따르면, 동료 알바분이 쓰레기 정리를 하지 않고, 자리를 방치하거나 음식 주문을 임의로 취소하거나 게임을 하는 등의 행위를 하였는바, 이는 근무태만에 해당할 수 있다고 사료됩니다.
다만, 사장님이 징계를 하지 않는다고 하여 징계 조치를 반드시 하도록 요구하긴 현실적으로 어려울 것으로 사료됩니다.
(징계권을 행사할 수 있는 사람은 사장님이기 때문이며, 징계권자가 징계하지 않겠다고 마음먹었다면 징계할 것을 강제하기는 어렵다고 사료됩니다)

동료 알바분에게 제대로 일 할 것을 요구하고, 사장님에게는 동료 알바분이 제대로 일을 하지 않아 일하는데 애로사항이 있음을 이야기하고 적절하게 조치될 수 있도록 다시 한 번 잘 이야기해보는 방법을 활용해볼 수밖에 없다고 사료됩니다.