1. 주휴수당 관련
주휴수당은 1주의 소정근로시간(질문자님과 사장님 간 일하기로 정한 시간)이 15시간 이상이어야 하고, 그 주에 개근을 했으며, 그 다음주에도 출근할 것으로 예정돼있는 경우에 부여될 것입니다.

이 때, 토요일에 8시간 일하는 것과 관련하여 다음과 같은 경우로 나눌 수 있을 것입니다.
1) 토요일 8시간을 소정근로시간(8시간 모두 소정근로)으로 볼 경우 : 이 경우는 일요일 포함하여 1주 소정근로시간이 15시간이 되므로 주휴수당 지급 대상이 될 것입니다.
2) 토요일 8시간을 소정근로(7시간)+연장근로(1시간)로 볼 경우 : 이 경우는 일요일 포함하여 1주 소정근로시간이 14시간이 되므로 주휴수당 지급 대상이 되지 않을 것입니다. (연장근로시간의 경우 소정근로시간에 해당되지 않음)

질문자님이 사장님과 근로계약을 체결할 당시를 살펴봐야 할 것인데,
질문자님의 정보만으로는 명확하지 않으나, 토요일 8시간 일하기로 협의했고, 사장님이 별도로 1시간을 연장근로라고 언급한 것과 같은 특별한 사정이 없는 이상, 소정근로시간을 8시간으로 보는 것이 타당할 것으로 사료됩니다.
또한 근로계약서상으로는 토요일 7시간, 일요일 7시간으로 기재돼있지만, 구두상으로는 토요일 8시간, 일요일 7시간으로 계약했고, 구두계약 또한 효력이 있다고 보아야 할 것이기 때문에 토요일 8시간으로 보는 것이 타당할 것으로 사료됩니다.

다만, 근로계약서상과 다르게 일한 것과 관련하여, 실제로 소정근로시간이 8시간이라는 것을 증명하는 것이 관건이라 할 것입니다.
관련 증거자료를 확보해서 주휴수당 지급을 주장하는 것이 타당할 것이며, 직접적인 증거 이외에 간접적인 증거까지도 최대한 활용해보시는 것이 좋을 것입니다.
예시) 출퇴근기록을 하는 경우 그 기록지(지문인식 등), CCTV가 있는 경우 CCTV, 지하철/버스 등을 이용한 출퇴근의 경우 승하차기록, 과거 일했던 분들의 진술서, 통화녹음내역 또는 녹취록 등 최대한 증명할 수 있는 것들을 확보

증거자료를 확보하여 고용노동부에 임금체불로 진정 시 권리구제를 받으실 수 있을 것으로 사료됩니다.

2. 해고 관련
해고의 경우 회사에 일하는 근로자가 5인 이상일 경우, 근로기준법 제23조의 규정을 적용받아 정당한 이유가 있을 경우에 한하여 해고가 가능할 것입니다.
다만, 5인 미만의 사업장의 경우, 근로기준법 제23조 규정이 적용되지 않아, 비록 사장님이 해고하는 정당한 사유가 없다 할지라도 해고의 정당성을 다툴 수 없게 됩니다.
질문자님의 정보에 따르면, 회사가 5인 미만 사업장인바, 안타깝지만 사장님이 임의로 해고하더라도 이를 법률상 구제가 가능하다고 보기 어려운 측면이 있다 할 것입니다.