1. 근로계약 및 주휴수당 미지급 관련
근로계약의 경우 구두로 맺었더라도 그 효력이 있다 할 것입니다.
다만, 근로계약의 경우 근로기준법 제17조에 따라 서면으로 작성하여 (임금 등) 법에서 정하는 사항을 근로자에게 교부하여야 하는바, 근로계약서를 미교부할 경우, 주휴수당 등 미지급된 임금과 관련하여 증명이 곤란할 수 있는 소지가 있어 보입니다.

만약 주휴수당 등 수당을 덜 받은 것이 명확할 경우, 문자로 알바하기로 한 내용, 향후 급여통장 입금 내역, (녹취한 경우) 근로조건 관련 녹취 내용, 실제 근로한 시간을 기록한 내용 등 최대한 일하셨음을 증명할 수 있는 자료를 갖추어 '사업장 관할 노동청'에 임금체불로 진정하시면 될 것으로 사료됩니다.

질문자님의 정보에 따르면, 1주 30시간 합의하여 일하는 바, 주휴수당의 지급 요건에 해당된다 사료됩니다.

2. 야간수당 미지급 관련
근로기준법 제56조에 따르면, 야간(밤 10시~오전 6시)에 근로할 경우, 임금을 가산하여 지급하도록 규정하고 있습니다.
그런데, 본 규정은 상시근로자수가 5인 미만의 경우에는 적용 대상이 아닙니다.

질문자님의 정보에 따르면, 5인 미만에 해당하므로 야간수당의 경우 지급 대상이 아닌 것으로 사료됩니다.