민사소송은 별도로 요건이 정해져 있지 않은 바 개인간의 관계에 있어서 언제든 제기할 수 있습니다.
다만 이것의 승소 여부 등에 대해서는 또 별도의 문제입니다.

우선 말씀해주신 내용을 보면
주휴수당은 근로계약 당시 1주에 근로하기로 약속한 시간(소정근로시간)이 15시간 이상인 근로자가 1주를 개근한 경우에 지급됩니다.
휴게시간을 제외하고 1주 15시간 이상 근로하기로 약속하였다면, 개근한 주에는 주휴수당을 지급받을 수 있습니다.

시급을 올려주셨다고 했는데 주휴수당은 그와는 별도로 발생하는 것인 바 올려준 시급 기준으로 주휴수당도 별도로 계산될 것입니다.

추가로 궁금하신 사항은 청소년근로권익센터(유선상담1644-3119 카카오톡상담 : id 청소년근로권익센터)를 이용 바랍니다.
청소년근로권익센터는 고용노동부와 한국공인노무사회가 함께 운영하고 있습니다.
고맙습니다.